第三章第七节超静定结构（三）

gaocen · 发表于 2013-1-28 15:59:11

本帖最后由 gaocen 于 2013-1-28 20:38 编辑

三、对称结构的计算

1 ．对称结构与对称荷载

如果结构的几何形状、支承情况、构件刚度及截面尺寸均关于某一坐标轴对称，这种结构称为对称结构，平分结构的坐标轴称为对称轴（图 3 -62a 、图 3 -63a 、图 3 -65a ）。

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作用在对称结构上的荷载，如果在对称轴的两边大小相等，绕对称轴对折后其作用点和作用线均重合且指向相同，这种荷载称为正对称荷载（简称对称荷载）（图 3 -62a 、 3 -63a 、 3 -65a ) ；

如果在对称轴的两边大小相等，绕对称轴对折后其作用点和作用线均重合但指向相反，这种荷载称为反对称荷载（图 3 -64 、图 3 -66a ）。

对称结构在正对称荷载作用下，其反力、内力、变形和位移都是正对称的，而在反对称荷载作用下，其反力、内力、变形和位移都是反对称的。利用对称结构这一特性可以简化结构计算。

【例 3－ 24 】利用对称性计算图 3 － 62 ( a ）所示结构，作出内力图。

该结构是一个对称的静定结构。因受对称荷载作用，故其内力必然是对称的。

注意到截面D 处于对称轴上，故该截面上只有水平轴力，而剪力为零（否则该截面上的竖向力不对称）。于是取出半边结构 ABCD如图 3 -62 ( b ）所示，该半边结构的弯矩图无需计算支座反力即可快速绘出。

因 D 处水平反力对 CD 杆的弯矩没有影响，据此可直接求得MCD=MCB=Pa/ 2 （外侧受拉）。又因 ABC 区段的弯矩图为一直线，故连接 C 、 B 两点的弯矩竖标并延伸至 A点，即可得到该区段的弯矩图（ 3 - 62c）。

整体结构的弯矩、剪力和轴力图如图 3 - 62 ( d ）、（e）、（f ）所示。

由上例计算结果可以看到，对称结构作用对称荷载，其内力是对称的，表现在内力图上则是：轴力图和弯矩图是正对称的，而剪力图是反对称的。实际上，在任意两个对称截面上，剪力本身的大小和指向仍是正对称的，只是由于剪力的符号规定（绕隔离体顺时针转为正）使得剪力图为反对称。

类似地，对称结构在反对称荷载作用下，轴力图和弯矩图是反对称的，而剪力图是正对称的（剪力的大小和指向仍是反对称的）。

2 ．取半边结构简化计算

对称结构在对称或反对称荷载作用下，一种较有效的简化分析方法是根据对称性取出半边结构进行计算，再由对称性作出整体结构的内力图。

例如图 3-63 ( a ）所示对称结构（奇数跨）作用正对称荷载，与对称轴重合的截面 C 上将只有对称的轴力和弯矩，而剪力为零；若从变形上看，则截面 C 只有竖向位移，而水平和转角位移必为零。这样，如果取半边结构分析，则截面 C 处可用一竖向滑动支承代替（图 3 -63b ）。

对于图 3-64 ( a ）所示作用反对称荷载的情形，与对称轴重合的截面 C 上的轴力和弯矩必为零，截面 C 的竖向位移也必为零；如果取半边结构分析，则截面 C 处可用一竖向链杆支承代替（图 3 -64b ）。

图 3-65 ( a ）所示对称结构（偶数跨），杆件 CD 位于对称轴上。在正对称荷载作用下，杆件 CD 只有轴力和轴向变形（否则不对称）。由于刚架计算中通常忽略杆件的轴向变形，这样截面C 将没有任何位移，即与固定支座相当，如图 3 -66 ( a ）所示为作用反对称荷载的情形，取出半边结构如图 3 -65 ( b ）所示。

与对称轴重合的杆件 CD 上的轴力和轴向变形为零（其他内力和变形一般不为零）。如果取半边结构分析，则需将杆件 CD 的刚度折半，其计算简图如图 3 66 ( b ）所示。在半边结构计算中，杆件 CD 的轴力虽不为零，但由于该半边的内力与另半边反对称，因此叠加后杆件 CD 上的轴力仍为零。

【例 3-25 】判断图 3 67 ( a ）所示刚架的变形形状，作出位移轮廓图。

对称结构若作用一般荷载，则可以将荷载分解为一组正对称和一组反对称的叠加。该刚架经分解后如图 3 -67（b）、（c）所示。

图（b）为作用对称荷载的情况，若不计轴向变形的影响，则该情况不产生弯矩（由水平杆件独立承担轴力 P / 2 ）。

图（c）为作用反对称荷载的情况，取半边结构计算如图（d）所示。在水平向右荷载作用下，容易判断支座 A 附近为左侧受拉，支座 C 将产生竖直向上的反力，即结点 D 附近为内侧受拉，这样可作出弯矩图轮廓如图（d）所示。整体结构的弯矩图见图（e）。

根据弯矩图的受拉侧可绘出结构的位移轮廓图如图 3 -67 （a）所示。

如图所示结构杆件EI相同，在外力q作用下，C截面不为零的是：【2009—15】

(A)竖向位移

(B)转角

(C)弯矩

(D)轴力

【答案】B

四、超静定结构的特性

（l）超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，在多余约束被破坏后，一般仍能进一步承受荷载，因此与相应的静定结构相比，超静定结构具有更强的防护能力。

（2）超静定结构的内力分布一般比相应的静定结构更为均匀，内力峰值更小些，结构的刚度也有一定提高。

例如图 3-68（a）所示的单跨超静定梁，因固定端具有负弯矩，因而使得梁的弯矩分布比相应简支梁（图 3 -68b ）更为均匀，其跨中挠度比相应简支梁也更小。

（3）超静定结构的内力状态与结构的材料性质及截面尺寸有关。在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与其绝对值无关。

（4）在超静定结构中，温度改变、支座位移、材料收缩、制造误差等均会引起反力和内力；内力的大小与各杆刚度的绝对值有关，并且一般与各杆刚度的绝对值成正比。

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