第三章第二节杆件的基本变形与组合变形（四）

gaocen · 发表于 2013-1-25 16:01:43

本帖最后由 gaocen 于 2013-1-25 16:26 编辑

3 ．惯性积

平面图形对某一对相互垂直（即正交）的坐标轴（如 y 、 z 轴）的惯性积Iyz，等于此图形中各微面积与该微面积的 y 、 z 坐标值的乘积的代数和。

容易验证，只要 y 、 z 两轴中有一轴是平面图形的对称轴，则该图形对 y 、 z 轴的惯性积Iyz=0。

4 ．形心主轴和形心主惯性矩

当一对正交坐标轴绕坐标原点发生转动时，平面图形对这两坐标轴的惯性积将随转角的改变而发生连续变化。这样，必定存在某一方向的一对坐标轴，使得平面图形对它的惯性积等于零，这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当主轴通过平面图形的形心时称为形心主轴，平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。如果平面图形有一个对称轴，则该对称轴与另一通过形心的相互垂直的轴就构成了该图形的形心主轴。

形心主惯性矩是平面图形对通过形心的各坐标轴的惯性矩中的极大值或极小值。例如图 3 -19 所示的 Z 形截面，它对形心主轴z0（强轴）的惯性矩Iz0与是对所有过形心的轴的惯性矩中最大的，它对形心主轴 y0（弱轴）的惯性矩Iy0是对所有过形心的轴的惯性矩中最小的。

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六、组合变形的概念

工程实际中，许多构件常处于两种或两种以上基本变形（轴向拉压、剪切、扭转和弯曲）的组合情况下，这种变形情况称为组合变形。在小变形条件下，组合变形的总应力等于各基本变形的应力的叠加。

1 ．斜弯曲（双向弯曲）

图 3-20 所示的矩形截面檩条，过形心的对称轴为该截面的两个形心主轴。作用在檩条上的荷载虽通过截面形心，但与两形心主轴都不重合。此时梁的弯曲一般不会发生在荷载作用面内，这种由与截面形主轴成一角度的外力引起的梁的弯曲，称为斜弯曲（或双向弯曲）。

为分析斜弯梁的受力情况，一般先将梁上的荷载沿两个形心主轴方向分解，求出这两组荷载单独作用时的截面内力、应力和变形，再对两组应力和变形进行叠加，、就得到了梁荷在任一截面的总的应力和变形。

例如图3-21 所示的矩形截面悬臂梁，其自由端作用一与截面纵向形心主轴成夹角φ的集中荷载P。将荷载 P 沿 y 、 z 两个形心主轴方向分解，则有

Py、Pz将使梁在 xOy和 xOz 两个主平面内同时发生弯曲。Py使截面在 z 轴以上部分产生拉应力，z 轴以下部分产生压应力；Pz使截面在 y 轴以左部分产生拉应力， y 轴以右部分产生压应力。这样截面上的最大拉应力发生在左上角点1 处，最大压应力发生在右下角点 2 处。

Py、Pz还将在横截面上引起剪应力τy、τz，合剪应力是这两个剪应力的几何叠加（矢量和）。

2 拉弯（或压弯）组合

( 1 ）轴向力和横向力联合作用

图3-22 ( a ）所示的矩形截面石柱，同时承受竖向自重和水平侧向荷载的作用。显然自重将使石柱产生竖向压缩变形，而侧向荷载使石柱产生弯曲变形。

石柱任一截面上的内力有轴力（压力）、弯矩和剪力。轴力使截面产生均匀的压应力，弯矩使截面左半部分产生压应力，右半部分产生压拉力。这样整个截面在左侧边缘处压应力最大，而在右侧边缘处压应力最小（图 3 -22b、c）；当然，如果侧向荷载比较大的话，右侧边缘附近的正应力可能转化为拉应力（图3 -22d ）。

( 2 ）偏心压缩（或拉伸）当杆件受到与杆轴线平行但不通过其截面形心的集中压力（或拉力）P作用时，杆就处于偏心压缩（或偏，合拉伸）的受力状态。

图3-23 ( a ）所示为单向偏心受压的情况。此时偏心荷载P作用在截面

图3-23 ( a ）所示为单向偏心受压的情况。此时偏心荷载P作用在截面的形心主轴Oy上，即只对形心主轴 Oz 有偏心距e。如果根据力的平移规则将偏心荷载P简化到形心 O 上，则可得到一个轴心压力 P 和对 Oz 轴的力矩m= Pe 。由截面法可知，该柱的任一横截面上将同时作用有轴向压力 N = P 和弯矩 M=Pe。在轴力和弯曲联合作用下横截面上只有正应力，且沿截面高度成线性分布。对于图3 -23 的情形，最大压应力将出现在截面的右侧边缘处，而左侧边缘处的压应力最小。当偏心距较大时，左侧边缘处也可能出现拉应力。

图 3-23 ( b ）所示为双向偏心受压的情况，此时偏心荷载 P 相对于两个形心主轴均有偏心距。将偏心荷载向形心简化后，利用截面法可以得到，杆件的任一横截面上将同时作用有轴向压力N =P，绕Oy轴的弯矩 Mz=Pe 和绕Oz轴的弯矩 My =Pey 。

3 ．弯扭组合

图 3-24 ( a ）所示为一端固定另一端自由的折杆，自由端 C 处作用一竖向集中荷载P。取 AB 杆进行分析（图 3-24b ) ，此时 B 端的作用力为一竖向集中力P和一力偶m= Pb 。力偶 m 的作用面垂直于AB 杆轴线，故为一扭矩，因此 AB 杆属于弯曲和扭转的组合变形情况。

利用截面法可以得到， AB 杆的任一截面上将同时作用有弯矩、扭矩和竖向剪力。弯矩沿杆轴线性变化，在固定端 A处最大，而 B 处为零；扭矩和剪力均沿杆轴保持不变。因此，该杆横截面上同时作用有正应力和剪应力。

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